Почему это асинхронное действие зависает?

Да, это тупик все в порядке. И распространенная ошибка с ТПЛ, так что не расстраивайтесь.

когда вы пишите await foo, среда выполнения по умолчанию планирует продолжение функции на том же SynchronizationContext, что и метод, запущенный. По-английски, допустим, вы назвали свой ExecuteAsync из потока пользовательского интерфейса. Ваш запрос выполняется в потоке threadpool (потому что вы вызвали Task.Run), но вы тогда ждете результата. Это означает, что среда выполнения будет график "return result;" строка для запуска обратно в поток пользовательского интерфейса, а не планировать его обратно в пул потоков.

так как же это тупик? Представьте, что у вас просто есть этот код:

var task = dataSource.ExecuteAsync(_ => 42);
var result = task.Result;

Итак, первая строка запускает асинхронную работу. Вторая строка тогда блокирует поток пользовательского интерфейса. Поэтому, когда среда выполнения хочет запустить строку "return result" обратно в поток пользовательского интерфейса, она не может этого сделать до Result завершается. Но конечно, результат не может быть дан до тех пор, пока возвращение происходит. Тупик.

это иллюстрирует ключевое правило использования TPL: когда вы используете .Result в потоке пользовательского интерфейса (или в каком-либо другом причудливом контексте синхронизации) вы должны быть осторожны, чтобы убедиться, что ничто из этой задачи не зависит от запланированного потока пользовательского интерфейса. Или же случается зло.

так что же вы делаете? Вариант №1-использовать await везде, но, как вы сказали, это уже не вариант. Второй вариант, который доступен для вас, чтобы просто перестать использовать await. Вы можете переписать ваши две функции:

public static Task<T> ExecuteAsync<T>(this OurDBConn dataSource, Func<OurDBConn, T> function)
{
    string connectionString = dataSource.ConnectionString;

    // Start the SQL and pass back to the caller until finished
    return Task.Run(
        () =>
        {
            // Copy the SQL connection so that we don't get two commands running at the same time on the same open connection
            using (var ds = new OurDBConn(connectionString))
            {
                return function(ds);
            }
        });
}

public static Task<ResultClass> GetTotalAsync( ... )
{
    return this.DBConnection.ExecuteAsync<ResultClass>(
        ds => ds.Execute("select slow running data into result"));
}

какая разница? Теперь нигде нет ожидания, поэтому ничто не будет неявно запланировано в потоке пользовательского интерфейса. Для простых методов, подобных этим, которые имеют один возврат, нет смысла делать "var result = await...; return result" pattern; просто удалите модификатор async и передайте объект задачи непосредственно. Это меньше накладных расходов, если ничего другого.

Вариант #3-указать, что вы не хотите, чтобы ваше ожидание планировалось обратно в поток пользовательского интерфейса, но просто запланируйте в потоке пользовательского интерфейса. Вы делаете это с ConfigureAwait метод, например, так:

public static async Task<ResultClass> GetTotalAsync( ... )
{
    var resultTask = this.DBConnection.ExecuteAsync<ResultClass>(
        ds => return ds.Execute("select slow running data into result");

    return await resultTask.ConfigureAwait(false);
}

ожидание задачи обычно планировалось бы в потоке пользовательского интерфейса, если вы на нем; ожидание результата ContinueAwait будет игнорировать любой контекст, в котором вы находитесь, и всегда планировать в пул потоков. Недостатком этого является то, что вы должны посыпать это везде во всех функциях своего .Результат зависит от того, потому что любой пропустил .ConfigureAwait может быть причиной очередного тупика.