Как вычислить r-квадрат с помощью Python и Numpy?

очень поздний ответ, но на всякий случай кому-то нужна готовая функция для этого:

scipy.статистика.статистика.linregress

т. е.

slope, intercept, r_value, p_value, std_err = scipy.stats.linregress(x, y)

как в ответе @Adam Marples.

из yanl (yet-another-library) sklearn.metrics есть r2_square

Я успешно использую это, где x и y похожи на массив.

def rsquared(x, y):
    """ Return R^2 where x and y are array-like."""

    slope, intercept, r_value, p_value, std_err = scipy.stats.linregress(x, y)
    return r_value**2

Я первоначально разместил тесты ниже с целью рекомендовать numpy.corrcoef, по глупости не понимая, что исходный вопрос уже использует corrcoef и на самом деле спрашивал о полиномиальных подходах более высокого порядка. Я добавил фактическое решение полиномиального вопроса R-squared с использованием statsmodels, и я оставил исходные тесты, которые, хотя и не по теме, потенциально полезны для кого-то.

---

statsmodels имеет возможность расчета r^2 в многочлен подходит непосредственно, вот 2 метода...

import statsmodels.api as sm
import stasmodels.formula.api as smf

# Construct the columns for the different powers of x
def get_r2_statsmodels(x, y, k=1):
    xpoly = np.column_stack([x**i for i in range(k+1)])    
    return sm.OLS(y, xpoly).fit().rsquared

# Use the formula API and construct a formula describing the polynomial
def get_r2_statsmodels_formula(x, y, k=1):
    formula = 'y ~ 1 + ' + ' + '.join('I(x**{})'.format(i) for i in range(1, k+1))
    data = {'x': x, 'y': y}
    return smf.ols(formula, data).fit().rsquared

чтобы в дальнейшем воспользоваться statsmodels, следует также посмотреть на встроенную сводку модели, которая может быть напечатана или отображена в виде богатой таблицы HTML в ноутбуке Jupyter/IPython. Объект результатов предоставляет доступ ко многим полезным статистическим метрикам в дополнение к rsquared.

model = sm.OLS(y, xpoly)
results = model.fit()
results.summary()

---

Ниже приведен мой оригинальный ответ, где я сравнивал различные методы линейной регрессии r^2...

в corrcoef функция, используемая в вопросе, вычисляет коэффициент корреляции,r, только для одной линейной регрессии, поэтому он не решает вопрос r^2 для полинома более высокого порядка подходит. Однако, для чего это стоит, я пришел к выводу, что для линейной регрессии это действительно самый быстрый и самый прямой метод вычисления r.

def get_r2_numpy_corrcoef(x, y):
    return np.corrcoef(x, y)[0, 1]**2

это были мои результаты timeit от сравнения кучу методов для 1000 случайных (x, y) очки:

• чистом Python (прямые r расчет)
  • 1000 циклов, лучше 3: 1.59 МС на цикл
• Numpy polyfit (применимо к n-й степени полинома подходит)
  • 1000 петель, лучше всего 3: 326 МКС на петлю
• руководство Numpy (сразу r расчет)
  • 10000 петель, лучше всего 3: 62,1 МКС на петлю
• Numpy corrcoef (прямой r расчет)
  • 10000 петель, лучше всего 3: 56,6 МКС на петлю
• Scipy (линейная регрессия с r как выход)
  • 1000 петель, лучше всего 3: 676 МКС на петлю
• Statsmodels (может сделать N-й степени полинома и многие другие подходит)
  • 1000 петель, лучше всего 3: 422 МКС на петлю

метод corrcoef узко бьет вычисление r^2 "вручную" с использованием методов numpy. Это >5X быстрее, чем метод polyfit и ~12X быстрее, чем scipy.линрегресс. Просто чтобы укрепить то, что numpy делает для вас, это в 28 раз быстрее, чем чистый python. Я не очень хорошо разбираюсь в таких вещах, как numba и pypy, поэтому кто-то другой должен был бы заполнить эти пробелы, но я думаю, что это достаточно убедительно для меня, что corrcoef самый лучший инструмент для расчета r для простой линейной регрессии.

вот мой код бенчмаркинга. Я копирую-вставляю из ноутбук Jupyter (трудно не назвать его ноутбуком IPython...), поэтому я извиняюсь, если что-то сломалось по пути. В %раз все волшебная команда требует оболочкой IPython.

import numpy as np
from scipy import stats
import statsmodels.api as sm
import math

n=1000
x = np.random.rand(1000)*10
x.sort()
y = 10 * x + (5+np.random.randn(1000)*10-5)

x_list = list(x)
y_list = list(y)

def get_r2_numpy(x, y):
    slope, intercept = np.polyfit(x, y, 1)
    r_squared = 1 - (sum((y - (slope * x + intercept))**2) / ((len(y) - 1) * np.var(y, ddof=1)))
    return r_squared

def get_r2_scipy(x, y):
    _, _, r_value, _, _ = stats.linregress(x, y)
    return r_value**2

def get_r2_statsmodels(x, y):
    return sm.OLS(y, sm.add_constant(x)).fit().rsquared

def get_r2_python(x_list, y_list):
    n = len(x)
    x_bar = sum(x_list)/n
    y_bar = sum(y_list)/n
    x_std = math.sqrt(sum([(xi-x_bar)**2 for xi in x_list])/(n-1))
    y_std = math.sqrt(sum([(yi-y_bar)**2 for yi in y_list])/(n-1))
    zx = [(xi-x_bar)/x_std for xi in x_list]
    zy = [(yi-y_bar)/y_std for yi in y_list]
    r = sum(zxi*zyi for zxi, zyi in zip(zx, zy))/(n-1)
    return r**2

def get_r2_numpy_manual(x, y):
    zx = (x-np.mean(x))/np.std(x, ddof=1)
    zy = (y-np.mean(y))/np.std(y, ddof=1)
    r = np.sum(zx*zy)/(len(x)-1)
    return r**2

def get_r2_numpy_corrcoef(x, y):
    return np.corrcoef(x, y)[0, 1]**2

print('Python')
%timeit get_r2_python(x_list, y_list)
print('Numpy polyfit')
%timeit get_r2_numpy(x, y)
print('Numpy Manual')
%timeit get_r2_numpy_manual(x, y)
print('Numpy corrcoef')
%timeit get_r2_numpy_corrcoef(x, y)
print('Scipy')
%timeit get_r2_scipy(x, y)
print('Statsmodels')
%timeit get_r2_statsmodels(x, y)

r-квадрат-это статистика, которая применяется только к линейной регрессии.

по существу, он измеряет, насколько вариации в ваших данных могут быть объяснены линейной регрессией.

Итак, вы вычисляете "общую сумму квадратов", которая представляет собой общее квадратическое отклонение каждой из ваших переменных результата от их среднего значения. . .

\sum_{i}(y_{i} - y_bar)^2

где y_bar-среднее значение Y.

затем, вы вычисляете "регрессии сумма квадратов", то есть насколько ваши установленные значения отличаются от среднего

\sum_{i}(yHat_{i} - y_bar)^2

и найти соотношение этих двух.

теперь все, что вам нужно сделать для полиномиальной подгонки,-это подключить y_hat из этой модели, но это не точно назвать r-квадрат.

здесь это ссылка, которую я нашел, что говорит с ним немного.

статья в Википедии о R-квадраты предполагает, что он может быть использован для общей подгонки модели, а не только линейной регрессии.

вот функция для вычисления взвешенного r-квадрат с Python и Numpy (большая часть кода поступает из sklearn):

from __future__ import division 
import numpy as np

def compute_r2_weighted(y_true, y_pred, weight):
    sse = (weight * (y_true - y_pred) ** 2).sum(axis=0, dtype=np.float64)
    tse = (weight * (y_true - np.average(
        y_true, axis=0, weights=weight)) ** 2).sum(axis=0, dtype=np.float64)
    r2_score = 1 - (sse / tse)
    return r2_score, sse, tse

пример:

from __future__ import print_function, division 
import sklearn.metrics 

def compute_r2_weighted(y_true, y_pred, weight):
    sse = (weight * (y_true - y_pred) ** 2).sum(axis=0, dtype=np.float64)
    tse = (weight * (y_true - np.average(
        y_true, axis=0, weights=weight)) ** 2).sum(axis=0, dtype=np.float64)
    r2_score = 1 - (sse / tse)
    return r2_score, sse, tse    

def compute_r2(y_true, y_predicted):
    sse = sum((y_true - y_predicted)**2)
    tse = (len(y_true) - 1) * np.var(y_true, ddof=1)
    r2_score = 1 - (sse / tse)
    return r2_score, sse, tse

def main():
    '''
    Demonstrate the use of compute_r2_weighted() and checks the results against sklearn
    '''        
    y_true = [3, -0.5, 2, 7]
    y_pred = [2.5, 0.0, 2, 8]
    weight = [1, 5, 1, 2]
    r2_score = sklearn.metrics.r2_score(y_true, y_pred)
    print('r2_score: {0}'.format(r2_score))  
    r2_score,_,_ = compute_r2(np.array(y_true), np.array(y_pred))
    print('r2_score: {0}'.format(r2_score))
    r2_score = sklearn.metrics.r2_score(y_true, y_pred,weight)
    print('r2_score weighted: {0}'.format(r2_score))
    r2_score,_,_ = compute_r2_weighted(np.array(y_true), np.array(y_pred), np.array(weight))
    print('r2_score weighted: {0}'.format(r2_score))

if __name__ == "__main__":
    main()
    #cProfile.run('main()') # if you want to do some profiling

выходы:

r2_score: 0.9486081370449679
r2_score: 0.9486081370449679
r2_score weighted: 0.9573170731707317
r2_score weighted: 0.9573170731707317

Это соответствует формула (зеркала):

С f_i-прогнозируемое значение из fit, y_{av} - среднее значение наблюдаемых данных y_i-наблюдаемое значение данных. w_i-это взвешивание, применяемое к каждой точке данных, обычно w_i=1. SSE-это сумма квадратов из-за ошибки, а SST-общая сумма квадратов.

---

Если интересно, то код в R:https://gist.github.com/dhimmel/588d64a73fa4fef02c8f (зеркала)